O objetivo deste artigo é demonstrar como compreender o Cálculo Diferencial de uma forma intuitiva com a menor quantidade de números e matemática possível.
O que é uma função?
Você pode pensar que uma função é como uma máquina com esteira. Sempre que algo entra (input), será transformado em algo diferente do outro lado (output).
Por que isso importa? Bem, porque nos ajuda a entender tendências e, no mundo real, as tendências nos ajudam a compreender coisas como: qual retorno financeiro terei ao investir no produto “X”, quão rápido uma doença se espalha, etc.
Um exemplo simples de função é a função f(x) = x + 1. Ou seja, para cada x (input), nossa máquina o transformará em x + 1. Por exemplo, se x for 1, então f(1) = 2, e assim por diante.
Encontrando a variação de uma função simples
Agora precisamos entender algo importante e crucial para a continuação deste artigo: a inclinação dessa reta. Digamos que eu queira saber qual a inclinação entre os pontos em x0, x = (3, 4), sabendo que eles resultam em y0, y = (4, 5). Como se trata de um intervalo, vamos chamar de Δx e Δy. A inclinação é dada por:
Δy/Δx = (y - y0) / (x - x0) = (5 - 4) / (4 - 3) = 1
Simples, não? Agora eu sei que a taxa de variação é 1, ou seja, cada unidade em x implica uma variação de 1 em y.
Como essa função é linear, qualquer par de pontos x, y que escolher sempre resultará em 1.
Entendendo a complexidade de funções no mundo real
Como você deve imaginar, no mundo real, as coisas não são bem assim. As funções são muito mais caóticas. Vamos ver outro exemplo: f(x) = x^2.
Por exemplo, temos um caso em que não é possível simplesmente aplicar o que aprendemos antes, porque não temos mais uma reta. Nesse caso, a variação ocorre em cada ponto desta função. O que eu faria para saber a variação naquele exato ponto?
Você acabou de fazer a pergunta que é a base de todo cálculo diferencial!
Encontrando a variação de funções complexas
Como vimos, não é possível encontrar, de forma simples, a taxa de variação para a função f(x) = x^2. Aqui entra o cálculo diferencial e uma palavra que você pode ter ouvido antes: DERIVADA. Ela permite que, para cada ponto, seja possível saber a inclinação. Sabemos que a derivada de f(x) = x^2 é f’(x) = 2x, ou seja, no ponto x = 4, nossa variação é 2 * 4 = 8.
Não vou entrar nos detalhes de por que isso é assim, pois não é o objetivo deste artigo.
Em suma, podemos concluir que o objetivo do cálculo diferencial é entender como se comportam funções complexas (que mudam de variação em cada ponto) no mundo real.